LOS NÚMEROS NATURALES

Los números naturales surgen de la necesidad de contar, de enumerar las cosas.

n = {1, 2, 3, 4, …}

Con los números naturales se puede sumar. De hecho, con la operación suma, los números naturales forman un semigrupo conmutativo (a + b = b + a).

Con la operación producto los números naturales también tienen estructura de semigrupo conmutativo (ab = ba).

El infinito de los números naturales se denomina infinito numerable. Cualquier conjunto que pueda ponerse en correspondencia biyectiva con el conjunto de los números naturales se dice que es infinito numerable. Por ejemplo, el conjunto de las potencias sucesivas de un número x, es decir, el conjunto {x, x², x³,…} cuando x es distinto de 0, 1 y -1, es un conjunto infinito numerable. El conjunto de los números enteros y el de los racionales también son infinitos numerables.

El conjunto de los números naturales es un conjunto totalmente ordenado, es decir, existe una relación de orden total, lo que significa que existe una relación de orden y que dos elementos cualesquiera pueden ser siempre comparados entre sí usando dicha relación. Dicho de otra forma, dados dos números naturales x e y, o bien x ≤ y, o bien y ≤ x.


Todo subconjunto A no vacío del conjunto de los números naturales tiene un elemento mínimo, esto es, existe un elemento x Î A tal que para todo y de A se tiene x ≤ y.

Por ejemplo, el subconjunto formado por los números pares tiene como elemento mínimo al 2.